微軟“選秀題”中的數學思維

林　革　顧小平

【面試題】一個正三角形的每一個角各有一只螞蟻．每只螞蟻開始朝另一只螞蟻做直線運動，目標角是隨機選擇的．螞蟻不相撞的概率是多少？

這是一道生動而有趣的題．這個問題并不復雜，解題過程也簡單直觀．只是一般的應試者很容易落入出題者的“陷阱”，即自然想像成：三只螞蟻在每個角上都有兩種選擇方向，每只螞蟻選擇的不確定性，組成的各種運動情形較繁雜．這樣就抓不住解決問題的關鍵，甚至出現思維混亂．微軟公司要求應試者能排除習慣因素的干擾，具有化繁為簡、切中要害的能力．

為了說明面試題蘊含的數學思維，我們先看下面這道趣味題：

一家錄像廳，原門票８元一張，降價后平均每場觀眾增加了３倍，收入增加了１．５倍，門票降價多少元？

這個問題的描述只是停留在表面情況上，按常規思路來解答似乎缺少條件，而我們一旦采用“簡約”思路來考慮，把問題簡化成原來平均每場只有一個觀眾，研究起來就非常方便快捷．

若原來平均每場觀眾只有１人，則降價后平均每場就有１×（１＋３）＝４人，收入８×（１＋１．５）＝２０元．由此可知，門票降價后為２０÷４＝５元，即門票降價８－５＝３元．可見“簡約”思維可以達到直奔主題、迅速解決問題的目的．

類似地，我們也可以用“簡約”思維分析解答微軟的面試題．從整體來看，只有２種方法可以讓螞蟻避免相撞，即：它們全部順時針運動，或者全部逆時針運動．否則，肯定會撞到一起．既然如此，我們不妨選擇一只螞蟻Ａ作為參照標準，一旦Ａ確定了自己是按逆時針方向或者順時針方向運動，那么其他螞蟻就必須做相同方向的運動才能避免相撞．由于螞蟻運動的方向是隨機選擇的，那么第二只螞蟻Ｂ有的概率選擇與Ａ相同的運動方向．同樣第三只螞蟻Ｃ也有的概率選擇與Ａ相同的方向．因此，螞蟻避免撞到一起的概率就是×＝．怎么樣？解答很簡單吧． 其實問題本來就是很容易的，只是應試者往往習慣性地把它想得過于復雜而不自覺地給自己增加了難度．

為了強化這種十分有效的“簡約”思維，最后向大家介紹一個有趣的數學游戲：甲、乙兩人往一圓桌上輪流放一枚硬幣，交替進行．規則是每一枚硬幣都必須平放在桌上而且不許重疊，誰在桌上放下最后一枚硬幣，誰就獲勝．有沒有方法判斷哪一方一定能獲勝呢？

這個問題的答案是：先放的一方必獲勝．你也許會問這是為什么呢？最容易的方法是，想像硬幣慢慢地大起來，最后極端的情況就是“硬幣與圓桌一樣大”，那么顯然先放的那個人必獲勝．因為這個人放了以后，另一個人就不能再放了．這種容易理解的解法正是由于采用了“簡約”思維而發現的．在正常的情況下，硬幣沒有桌面大，桌上可以放許多硬幣，是不是仍是先放的一方獲勝呢？回答是肯定的．常規的解法如下：甲首先把硬幣放在桌面的中心，不管乙把硬幣放在什么地方，甲第二次都可以把硬幣放在與乙的硬幣關于桌面中心對稱的地方．這樣繼續下去，必是甲獲勝．