兩座神奇的“數字金字塔”

陸海泉

古埃及的金字塔是人類文明的結晶，金字塔中隱藏著的每一個秘密都是那樣的神奇而美妙．在數學這門學科中，人們把“楊輝三角”稱為中國的“數字金字塔”（如圖１），你可以查閱有關資料，了解一下“楊輝三角”的構成及其規律．下面，先讓我們來欣賞另一座“數字金字塔”（如圖２）．

圖２中，“金字塔”的結構是：頂端是１，下面各層依次是多位數１２１，

１２ ３２１，１ ２３４ ３２１，１２３ ４５４ ３２１，…，且數字的排列橫豎成行．

現在，我們來揭開她神秘的面紗，探尋其中的奧妙．

１． 各層上的數都是平方數，依次是１２、１１２、１１１２、１ １１１２、１１ １１１２、…． 因此，可推得第９層的數為１２ ３４５ ６７８ ９８７ ６５４ ３２１．

２． 各數的位數都是奇數，依次是１、３、５、７、９、…．

３． “三角形”兩腰上排列的數字都是１．

４． 各層上的多位數都是居中的一個數字最大，其余向左、右兩邊依次減小１，給人以強烈的對稱美感．

５． 居中的這個最大數字，就是對應的冪的底數所含１的個數．由此可得，１ １１１ １１１２中的底數含７個“１”，故平方數的中間一個數也是７，１ １１１ １１１２＝１ ２３４ ５６７ ６５４ ３２１．

６． 各層的數字和也是平方數，依次為

這構成了另一座“數字金字塔”！

７． 縱向觀察，圖２中被１包圍的各數字都等于它“頭頂”上的數字加１．

……

在享受數字王國帶給我們無窮樂趣的同時，請同學們思考以下兩個問題，定會獲得更多的樂趣．

問題１：觀察圖２，你有何新的發現？

問題２：圖１與圖２中的兩座“數字金字塔”有什么異同？