IIR數字濾波器在MATLAB中的設計與實現

黃 波

（作者單位：成都大學信息科學與工程學院）

1 研究背景

數字濾波器可以允許某些頻率的信號基本無損通過，而另外一些頻率的信號會受到較大抑制，甚至被濾除，所以數字濾波器可以被看作是一個選頻電路，凡是有能力進行信號處理的裝置都稱為濾波器[1]。

IIR（Infinite Impulse Response）數字濾波器對信號進行過濾、檢測與參數估計等處理。當前，數字濾波器的設計有不少成熟的高級語言程序，但它們的設計效率較低，無法進行可視化操作，不可以修改參數等缺陷，MATLAB軟件的出現，為數字濾波器的深入研究和廣泛應用，搭建了一個高效有利的平臺[2]。

2 模擬濾波器

巴特沃斯濾波器的特點是，通頻帶內的頻率響應曲線可以實現最大限度的平坦，沒有高低起伏，而在阻頻帶內則可以實現緩慢下降至零。在振幅對數的對角頻率波特圖上，巴特沃斯濾波器可以從某個邊界的角頻率開始,其振幅可以隨著角頻率增加而逐漸變少，最終趨向于負無窮大。圖1為當N=2，5，10，20時的巴特沃斯頻率圖。

圖1 巴特沃斯頻率圖

圖2 切比雪夫頻率圖

切比雪夫模擬濾波器的特點是，在通頻帶內或阻頻帶上可以實現頻率響應幅度等波紋波動，切比雪夫模擬濾波器在過渡帶上比巴特沃斯模擬濾波器衰減得更快，但其頻率響應幅頻特性比后者要陡峭一些。切比雪夫模擬濾波器和理想中的數字濾波器的頻率響應曲線之間的誤差可以做到最小，但無法避免的是，它在通頻帶內依然存在幅度上的波動。如圖2所示，當N=2、3、7時的切比雪夫頻率圖。

3 IIR數字濾波器設計及仿真

數字濾波器就是對不同頻率的數字信號可以實現從頻域完成信號之間分離的時序邏輯電路，或者是設計程序。我們這里所說的數字濾波器都是一個離散的LTI系統。離散LTI系統模型如圖3所示。

圖3 離散LTI系統模型

其中，x（n）、y（n）分別為數字系統的輸入序列和輸出序列，H（E）是系統的特性函數（轉移算子）。

IIR數字濾波器設計過程包括：首先按設計任務，確定濾波器性能要求，制定技術指標；其次用一個因果穩定的離散系統的系統函數H（z）逼近此性能指標；然后利用有限精度算法實現此系統函數，如運算結構、字長的選擇等。

數字濾波器的設計過程，其實是尋找一組系數{b,a}，進而盡量逼近要求的頻率響應，讓其在性能上可以滿足預設的技術指標，所以數字濾波器其本質是在Z平面尋找一個合適的H（z）函數。因為IIR數字濾波器的單位響應是可以無限長的，因此，數字濾波器的設計關鍵其實是將H（S）函數轉變為H（Z）函數[3]。

圖4 巴特沃斯數字帶通濾波器的幅度與相位特性曲線

圖5 切比雪夫數字帶通濾波器的幅度與相位特性曲線

下面首先實現基于巴特沃斯法直接進行IIR數字濾波器設計。巴特沃斯濾波器的幅度特性是通頻帶內平坦，阻頻帶內是單調下降的。用于設計階次為N，截止頻率為Wn的低通數字濾波器，截止頻率Wn取值在0～1，下面是巴特沃斯數字帶通濾波器的幅度與相位特性曲線，如圖4所示。通過分析，可以得到以下結論：巴特沃斯濾波器的幅度特性是通頻帶內平坦，阻頻帶內是單調下降的。

下面接著實現基于切比雪夫法直接設計IIR數字濾波器。切比雪夫濾波器的通頻帶是等波紋的，而在阻頻帶是單調下降的。利用cheby1函數直接設計數字濾波器其波形如下，如圖5所示（其中，Ws=200Hz，Wp=100Hz，Rp=3dB，Fs=1000Hz）。通過分析，可以得到以下結論：切比雪夫濾波器在通頻帶是等波紋的，而在阻頻帶是單調下降的。

4 結語

IIR數字濾波器在諸如語音信號處理、圖像信號處理視頻信號處理以及視頻信號處理等應用領域都得到了非常廣泛的應用。本文根據IIR數字濾波器的工作原理，實現了IIR數字濾波器的快速設計方法，進而在MATLAB軟件環境中完成了IIR數字濾波器的快速仿真設計，同時在設計過程中對比了濾波特性，也可以隨時改變相關參數，進而實現數字濾波器設計工作的最優化處理。