第13講“代數(shù)與幾何綜合問(wèn)題”復(fù)習(xí)精講

王磊 王鋒

專題精講

代數(shù)與幾何的綜合問(wèn)題是指以代數(shù)知識(shí)與幾何知識(shí)相互交融渾然一體的一類綜合題，這類問(wèn)題通常以幾何圖形（或?qū)D形坐標(biāo)化）及函數(shù)圖象為背景，輔助于圖形的運(yùn)動(dòng)與變換（平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱）手段，融入函數(shù)（包括銳角三角函數(shù)）、方程、不等式等代數(shù)的核心知識(shí)，來(lái)綜合考查同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能、掌握的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，題型大致可分為：（1）圖形、坐標(biāo)綜合問(wèn)題；（2）圖形與代數(shù)式的綜合問(wèn)題；（3）函數(shù)圖象中的幾何圖形問(wèn)題；（4）方程、不等式與幾何綜合問(wèn)題等，

解決代數(shù)與幾何綜合問(wèn)題的基本思路：

第一，要認(rèn)真審題，弄清問(wèn)題的條件與結(jié)論，盡可能分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題中的顯性條件，挖掘問(wèn)題中的隱含條件，

第二，充分關(guān)注幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)揮幾何直觀的導(dǎo)航作用，對(duì)復(fù)雜圖形我們要慧眼識(shí)圖，從中發(fā)現(xiàn)并分離出能夠幫助解決問(wèn)題的基本圖形，或添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造基本圖形，以便運(yùn)用基本圖形的性質(zhì)去解決問(wèn)題，

第三，根據(jù)綜合題設(shè)計(jì)的結(jié)論分步探究的特點(diǎn)，我們要學(xué)會(huì)從題目中尋找代數(shù)與幾何這兩部分知識(shí)的結(jié)合點(diǎn)，進(jìn)行“肢解”，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)或幾何問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的突破口，從而“化整為零，各個(gè)擊破”。

最后，要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想和方法的引領(lǐng)作用，分析與綜合、分類討論、函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合、歸納與猜想等都是解決這類問(wèn)題有效的數(shù)學(xué)思想和方法，特別是數(shù)形結(jié)合思想——由形導(dǎo)數(shù)、以數(shù)促形，可以架起連接代數(shù)與幾何的橋梁，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化，幫助我們另辟蹊徑，曲徑通幽。

近年來(lái)，全國(guó)多數(shù)地區(qū)的“代數(shù)與幾何的綜合問(wèn)題”大部分是以“解答題”的形式出現(xiàn)在中考試卷的最后兩三道題中，難度較大，從近三年河南省中考試卷來(lái)看更是如此，2016年我們既要注意通過(guò)探究線段長(zhǎng)度滿足的數(shù)量關(guān)系判斷構(gòu)成的特殊形狀的幾何圖形（如等腰三角形、矩形、菱形、正方形）的開放型問(wèn)題或有關(guān)幾何圖形的周長(zhǎng)與面積的最值問(wèn)題，更要關(guān)注坐標(biāo)系中幾何圖形的問(wèn)題以及以三種函數(shù)圖象為背景與幾何圖形融合于一體，判斷點(diǎn)、直角三角形、等腰三角形或特殊四邊形的存在性問(wèn)題，

重點(diǎn)題型例析

一，圖形、坐標(biāo)綜合問(wèn)題

將常見的幾何圖形巧妙地放置于平面直角坐標(biāo)系中，將圖形坐標(biāo)化，通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)體現(xiàn)圖形中線段的長(zhǎng)度，或給出圖形中線段的長(zhǎng)度來(lái)確定圖形頂點(diǎn)的坐標(biāo)或滿足某種條件的特征點(diǎn)的坐標(biāo)，并輔助于圖形的折疊、平移、旋轉(zhuǎn)等變換手段，構(gòu)造的一類“坐標(biāo)幾何問(wèn)題”——運(yùn)用坐標(biāo)描述圖形的位置和運(yùn)動(dòng)，把幾何和代數(shù)知識(shí)完美地糅合在一起，解決這類問(wèn)題要掌握?qǐng)D形變換的基本特征，關(guān)注動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間形成的特殊關(guān)系，挖掘幾何圖形的性質(zhì)，進(jìn)而運(yùn)用三角形的全等或相似、勾股定理、函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，或構(gòu)造方程進(jìn)行求解，

點(diǎn)撥：本題源于人教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第十八章《平行四邊形》復(fù)習(xí)題十八第69頁(yè)“拓廣探索”的第14題，是將課本中正方形放置到平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，并附設(shè)正方形的邊長(zhǎng)，把中點(diǎn)E變成X軸上邊OA上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，并添加課本中結(jié)論作為條件的背景下，來(lái)探究點(diǎn)的坐標(biāo)、線段的長(zhǎng)度和四邊形面積的最值，其中通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形再證明兩個(gè)直角三角形全等，仍然為我們解題提供了重要的解題思路，

本題考查直角三角形、正方形的性質(zhì)及全等、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，滲透了待定系數(shù)法（求直線OB的解析式）、配方法（求面積的最值）、函數(shù)思想，第（2）問(wèn)是一個(gè)難點(diǎn)，不易實(shí)現(xiàn)有效轉(zhuǎn)化即用t來(lái)表示出點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)，進(jìn)而用X_M。來(lái)表示出線段MN的長(zhǎng)度，導(dǎo)致思維受阻，突破這一問(wèn)題的關(guān)鍵，是充分運(yùn)用圖形的性質(zhì)，用已知量和未知量表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，特別要注意平行于坐標(biāo)軸的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（平行于X軸的直線上兩點(diǎn)的距離等于它們的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，平行于y軸的直線上兩點(diǎn)的距離等于它們的縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值），第（3）問(wèn)求四邊形面積時(shí)，利用了“對(duì)角線互相垂直的四邊形”的性質(zhì)——其面積可以利用“對(duì)角線乘積的一半”來(lái)求（實(shí)際上是菱形面積公式的推廣），利用二次函數(shù)研究極值，既可以用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)求也可以用配方法來(lái)求，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為分?jǐn)?shù)，配方時(shí)同學(xué)們?nèi)菀壮霈F(xiàn)失誤，同學(xué)們要高度重視，

三.圖形與代數(shù)式的溫和問(wèn)題

這類問(wèn)題通過(guò)給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、幾何圖形或給出與圖形有關(guān)的操作變化過(guò)程，要求通過(guò)觀察、分析、推理發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的

點(diǎn)撥：當(dāng)一個(gè)問(wèn)題涉及相當(dāng)多的乃至無(wú)窮多的情形時(shí)，可從問(wèn)題的簡(jiǎn)單情形求解人手，如本題，抓住圖形結(jié)構(gòu)的形成過(guò)程，求出前三次操作時(shí)相應(yīng)的矩形的面積數(shù)值，然后通過(guò)分析所得的面積的數(shù)據(jù)的特點(diǎn)找出隱含的共同規(guī)律，進(jìn)而歸納猜想出問(wèn)題的答案，這是我們解決此類問(wèn)題常用的思考策略，本題主要考查了勾股定理、矩形的面積公式和相似多邊形的件質(zhì)。