統一數學王國的“瘋子們”

朱長超

自從笛卡爾創立了解析幾何，牛頓、萊布尼茲創立了微積分以來，數學得到了突飛猛進的發展。數學的各個分支，如群論、非歐幾何、泛函分析等相繼產生。但不同的分支有不同的數學語言，隨著數學分支越來越多，常常是這個分支中的數學家無法聽懂那個分支中的數學語言。數學王國歷來的內在和諧被破壞了。面臨著數學王國四分五裂的局面，20世紀的數學家迫切地希望系統地整理全部數學概念，把各個分支有機地統一起來。為此，在本世紀二十年代，法國數學家阿達瑪組織了一個數學討論班。參加者經常爭論得面紅耳赤，聲嘶力竭，使得有些不知內情的人把這個討論班稱為“瘋子的集會”。十多年后，法國出版了署名“布爾巴基”著的《數學原理》第一卷，以后又陸續出了第二第三卷，直到現在問世了近四十卷。這套數學史上最巨大的數學著作，用嚴密的邏輯方法，整理了迄今為止的全部數學概念，把山頭林立的各個數學分支統一成一個和諧的數學王國。著者“布爾巴基”不是別人，就是那一群喜歡爭論的“瘋子”。

他們是在法國數學十分落后的情況下挑起這個重擔的。法國曾有過很好的數學傳統，有過笛卡爾、拉格朗日、伽羅華、彭加勒這樣的出色的數學家。但是20世紀初期，法國數學急劇落后，許多優秀的人才死于第一次世界大戰中，老一輩的數學家禁錮在函數論中，把函數論當作唯一的圣地，不知當時的俄國學派、波蘭學派等數學界同行的成就。怎樣才能使今天的數學王國重新統一呢？他們想首先要了解各門分支的新成就。討論班一經成立，就把上年發表的重要論文分配給有興趣的人，讓他反復鉆研。然后介紹給討論班。例如，當數學家范德華爾登出色的數學著作發表后，討論班馬上加以研究、討論。這樣的討論不斷開闊了參加者的眼界，活躍了他們的思想，逐漸形成了一個充滿活力的布爾巴基學派，為統一數學王國的事業打下了基礎。

討論班的第二步工作是以更系統的方法探討數學各個分支中涌現出來的大量概念，尋找它們之間的內在聯系，把它們統一起來。數學史上，歐幾里德曾用若干公理演繹出千百條幾何定律，建立了嚴密的幾何體系；希爾伯特曾從少數幾個公理出發，建立了嚴密的數理邏輯的公理化系統。布爾巴基討論班的科學家們由此得到啟發，在各個數學分支的背后一定存在著一些共同的東西，這個共同的東西就是數學結構。他們設想用數學結構的思想可以統一數學王國，因為“不管其外貌如何，數學學科的內在進化，不同部分必定會趨于嚴密的統一。”但是要找到能夠綜合各種分支的結構，必須找到和深入研究各種分支的結構，只有這樣，才能找出各種數學結構之間的邏輯關系。這是一件十分艱巨的任務，需要集思廣益、群策群力。為了尋找數學內在的各種結構，布爾巴基小組經常進行激烈的爭論。批評是不留情面的，只有在問題搞清楚后大家才又面帶笑容地平靜下來。討論后有了比較一致的意見就讓某個人去起草。一二年后草稿出來了，再在討論班上宣讀，每一頁、每一個證明都要嚴格考察。第一稿否定了，第二個人寫第二稿，第二稿又否定了，第三個人接著干。艱苦的探索使他們終于證實：各個數學分支果然都有著自己特有的結構，而這些結構都是一些基本結構的結合，都可以從結構上加以分析。比如，實數的集合都服從代數結構。根據這種代數結構，任何實數經過四則運算仍為實數，任何實數都滿足結合律、分配律。實數集合也具有順序結構，任何兩個實數都可以比較大小，在數軸上有不同的位置。此外，任何實數還具有拓撲結構，即兩個實數之間總有著一定的距離。所以可以說代數是代數結構、順序結構、拓撲結構三種結構的組合。并且，他們進一步發現，各個數學分支，不管它是多么錯綜復雜，都不外乎這三種結構的組合變化。一切數學分支都可以用這三種結構加以說明。統一數學王國的規律被他們找到了。

經過半個世紀的努力，他們寫了近40卷的《數學原理》。這套書對數學成就進行了系統的總結，對數學各分支進行一次全面的綜合，建立了一座前所未有的巍峨的大廈，統一了數學王國。