實二次Euclid域中不定方程的整數(shù)解

許宏鑫，趙西卿

(延安大學 數(shù)學與計算機科學學院，陜西 延安　716000)

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實二次Euclid域中不定方程的整數(shù)解

許宏鑫，趙西卿

(延安大學 數(shù)學與計算機科學學院，陜西 延安716000)

利用實二次Euclid域中的相關理論及二次代數(shù)整數(shù)環(huán)中的算術基本定理研究了不定方程x2+D=4y5(D=-6,-7,-37)的可解性問題，得到了該類方程的一般解法，并證明該方程當D=-6,-7,-37時均無整數(shù)解。

實二次Euclid域；不定方程；整數(shù)解

(1)

1　預備知識

引理 2[1]設D滿足引理1的條件，及

2　定理及其證明

定理1不定方程

(2)

無整數(shù)解。

(3)

或

(4)

若式(3)成立，則

所以

(5)

由式(5)可知：b=1,2t(1≤t≤4)。

① 當b=1時，方程5a4+60a2+20=0無整數(shù)解。

② 當b=2t(1≤t≤4)時，由于24≡24(mod25)，b(5a4+60a2b2+36b4)≡0(mod25)矛盾，因此不定方程式(2)在式(3)的分解下無整數(shù)解。

若式(4)成立且當k=1時，有：

化簡有：

(6)

由式(6)可知：24≡24(mod25),而±(2a5+25a4b+120a3b2+300a2b3+360ab4+180b5)≡0(mod25) 矛盾，因此式(6)無整數(shù)解。

同理可證：當k取不等于1的其他整數(shù)時，式(6)仍無整數(shù)解。

定理2不定方程

x2-7=4y5,x,y∈Z

(7)

無整數(shù)解。

(8)

或

(9)

若式(8)成立，則

所以

(10)

由式(10)得：b=1,2t(1≤t≤4)。

① 當b=1時，方程5a4+70a2+33=0無整數(shù)解。

② 當b=2t(1≤t≤4)時，由于24≡24(mod25)，b(5a4+70a2b2+49b4)≡0(mod25)矛盾，因此由對①和②的討論可知，不定方程(7)在式(8)的分解下無整數(shù)解。

若式(9)成立，且當k=1時，有

化簡得：

(11)

由式(11)可知：24≡24(mod25)，而±(3a5+40a4b+210a3b2+560a2b3+735ab4+392b5)≡0(mod25) 矛盾，所以式(11)無整數(shù)解。

同理可證：當k取不等于1的其他整數(shù)時，式(11)仍無整數(shù)解。

定理3不定方程

x2-37=4y5,x,y∈Z

(12)

無整數(shù)解。

(13)

或

(14)

若式(13)成立，則有

(a5+370a3b2+6 845ab4)+

所以

(15)

由式(15)得：b=1,2t(1≤t≤4)。

① 當b=1時，方程5a4+370a2+1 353=0無整數(shù)解。

② 當b=2t(1≤t≤4)時，由于24≡24(mod25),b(5a4+370a2b2+1 369b4)≡0(mod25) 矛盾。因此不定方程(12)在式(13)的分解下無整數(shù)解。

若式(14)成立，且當k=1時，有：

化簡得：

(16)

由于a≡b(mod2)，那么有a≡b≡0(mod2)或a≡b≡1(mod2)成立，又由式(16)可知：

① 當a≡b≡0(mod2)時，則24≡24(mod25)，而±(a5+30a4b+370a3b2+2 220a2b3+6 845ab4+8 214b5)≡0(mod25)矛盾，此時式(16)無整數(shù)解。

② 當a≡b≡1(mod2)，且當x≤100時，經驗證式(16)無整數(shù)解。同理可證當k取不等于1的其他整數(shù)時，式(16)仍無整數(shù)解。

[1]潘承洞,潘承彪.代數(shù)數(shù)論[M].2版.濟南:山東大大學出版社,2001.

[2]張麗平.關于不定方程x2+7=4y3[J].長春工程學院學報(自然科學版),2007,8(1):84-85.

[3]王振,李小燕.關于不定方程x2+11=4y3[J].重慶工商大學學報(自然科學版),2009,26(6):551-552.

[4]鄔毅.關于不定方程x2+11=4y5的唯一正整數(shù)解[J].高師理科學刊,2006,26(2):7-8.

[5]鄔毅.Euclid域中Diophantus方程的整數(shù)解[J].數(shù)學雜志,2015,35(4):1012-1016.

[6]拓小泉,王彩寧,郭金保.關于不定方程x2+1=Dy3(D∈N)解的存在性討論[J].延安大學學報(自然科學版),2012,31(4):7-8.

[8]鄔毅.關于二次域理論求解一類Diophantus方程的整數(shù)解[J].數(shù)學雜志,2015,35(5):1197-1200.

[9]鄔毅.Euclid域中丟番圖方程整數(shù)解的進一步討論[J].重慶理工大學學報(自然科學),2016,30(5):132-134.

[10]趙彩虹.關于幾類不定方程整數(shù)解的研究[D].延安:延安大學,2014.

(責任編輯劉舸)

IntegerSolutionofDiophantineEquationonRealQuadraticEuclidField

XUHong-xin,ZHAOXi-qing

(CollegeofMathematicsandComputerScience,Yan’anUniversity,Yan’an716000,China)

WestudiedthesolvabilityofDiophantineequationx2+D=4y5(D=-6,-7,-37)byusingthetheoriesontherealquadraticEuclidfieldandthefundamentaltheoremofarithmeticintheringofalgebraicinteger,andfinally,weobtainedthegeneralmethodsofsolvingthisclassofDiophantineequationandprovedthattheequationdidn’thaveintegersolutionwhenD=-6,-7,-37.

realquadraticEuclidfield;Diophantineequation;integersolution

2016-07-04

國家自然科學基金資助項目(11471007)；陜西省科技廳自然科學基金資助項目(2013JQ1019);延安大學自然科學專項基金資助項目(YDZ2013-05);延安大學研究生教育創(chuàng)新計劃項目(YCX201613)

許宏鑫(1989—),女,陜西靖邊人,碩士研究生,主要從事不定方程與數(shù)論函數(shù)方程的研究；通訊作者 趙西卿(1965—), 男,副教授,主要從事解析數(shù)論研究，E-mail:ydzhaoxiqing@126.com。

format：XUHong-xin,ZHAOXi-qing.IntegerSolutionofDiophantineEquationonRealQuadraticEuclidField[J].JournalofChongqingUniversityofTechnology(NaturalScience)，2016(9):151-155.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.09.025

O156.7

A

1674-8425(2016)09-0151-05

引用格式：許宏鑫,趙西卿.實二次Euclid域中不定方程的整數(shù)解[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2016(9):151-155.