探析極值點偏移證明問題的解決方法

徐景超

[摘 要]極值點偏移證明問題是高考中的難點，通過對稱變換、消參減元、比值換元、利用單調性等方法能有效解決極值點偏移證明問題。

[關鍵詞]極值點偏移;對稱變換;消參減元;比值換元

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）08-0026-03

所謂極值點偏移，指的是連續函數[f（x）]在[（x1， x2） （f（x1）=f（x2）為前提）]上的極值點左右增減速度不同導致極值點[x0≠x1+x22]的情況出現。與其有關的問題主要有，一是與極值點偏移的不等式證明問題，二是極值點偏移對應的極值差范圍的求解。這些問題與函數單調性、極值和最值等知識點都有密切的聯系。其中，有關極值點偏移證明問題更為常見。掌握這類問題的解決方法，有助于學生開拓思路，有效破解難度較大的函數問題。

一、對稱變換

采用對稱變換方法解決有關極值點偏移證明問題，關鍵在于把問題中的兩個變量對稱分布在不等號的兩邊，進一步構造函數把問題轉化為函數最值問題。如求證[x1+x2>2x0]，可構造函數[g（x）=f（x0+x）-f（x0-x）]或[g（x）=f（x）-f（2x0-x）]等對稱形式，探究[gx]的單調性，進而把問題轉化為極值點之間的關系。具體解題步驟如例1所示。

[例1]已知函數[fx=-x+x+2lnxx∈R]，且函數[f（x）]圖像在[A（x1，? f（x1））]、[B（x2，? f（x2））] [（x1<x2）]兩個不同點處的切線互相平行，求證[x1+x2>4]。

分析：對問題中所給“不同點處切線互相平行”進行分析可得，該兩點處對應導數相等。問題所求證的不等式中含有兩個變量，即[x1、x2]，因此需要對不等式進行變形，使兩個變量對稱分布在不等號的兩邊，即[x1>4-x2]，構造函數[g（x1）-g（4-x2）]，并探究其單調性，從而證明[x1+x2>4]成立。

證明：∵[f（x）=-x+（x+2）lnx（x∈R）]，

∴[f '（x）=2x+lnx（x>0）]，

設[g（x）=2x+lnx（x>0）]，

由題意“函數[fx]的圖像在[A（x1，f（x1））]、[B（x2，f（x2））] [（x1<x2）]兩個不同點處切線互相平行”可得， [f '（x1）=f '（x2）]，即[g（x1）=g（x2）]，

∵[g'x=-2x2+1x=x-2x2]，∴[gx]在[（0， 2）]上單調遞減，在[2，+∞]上單調遞增，

∵[g（x1）=g（x2）]，∴必有[0<x1<x2<2]，[4-x1>2]，

則有[g（x1）-g（4-x1）=2x1+lnx1-24-x1-ln（4-x1）]，

令[h（x）=2x+lnx-24-x-ln（4-x） ][（0<x<2）]，

[∵h'（x）=- 2x2+1x+2（4-x）2+14-x=- 8（x-2）2x2（4-x）2<0，]

∴[hx]在[0， 2]上為減函數，[hx>0]，

∴[g（x1）-g（4-x1）>0]，即[g（x1）>g（4-x1）]，[g（x2）>g（4-x1）]，

∵[gx]在[2，+∞]上單調遞增，∴[x2>4-x1]，即[x1+x2>4]。

評析：對稱變換是解決極值點偏移證明問題的常見方法之一。不同的不等式證明有著不同的變換形式，類似[x1±x2>2x0]形式的證明，可通過加減使其對稱，而類似[x1?x2>2x0]形式的證明，往往通過乘除變換得到對稱形式。

二、消參減元

消參減元主要是建立參數和極值點的聯系等式，通過消去參數或減少變量個數對問題進行求解。解決極值點偏移證明問題時，首先令函數的導函數[f '（x0）=0]，根據[f '（x0）=0]找到并建立極值點與方程系數的關系，再利用作差的形式消去參數或減少變量個數，如[f（x）=axb+m]（a、b為常數，m為參數）可以轉化為[f（x1）-f（x2）]消去參數[m]再求解;其次根據消參后的式子構造對應的函數;最后探究所構造的函數的單調性、極值、最值等，從而解決問題。具體解題步驟如例2所示。

[例2]已知函數[fx=x2+2x-2lnx]，若方程[fx=x2+2m]有兩個不相等的實數根[x1]，[x2]，求實數[m]的取值范圍并證明：[x1x2<1]。

分析：解題的第一步就是要消去參數，這時需要根據實數根[x1]，[x2]之間的關系進行消解，消除參數后把[x1x2<1]變形為[x1<1x2]，接著對[x1<1x2]對應的函數[g（x1）<g1x2]，即[g（x1）-g1x2<0]進行探討。

證明：由題意可得方程[f（x）=x2+2m]等價于[x-lnx-m=0]，

令[g（x）=x-lnx-m（x>0）]，則[g'（x）=1-1x]，當[x∈0 ， 1]時，[g'x<0]，[gx]單調遞減;當[x∈1，+∞]時，[g'（x）>0]，[gx]單調遞增，所以[g（x）min=g（1）=1-m]。

若方程[f（x）=x2+2m]有兩個不相等的實根，則有[g（x）min<0]，即[m>1]，

當[m>1]時，[0<e-m<1<em]，[g（e-m）=e-m>0]，[g（em）=em-2m]，

令[h（x）=ex-2xx>1]，則[h'（x）=ex-2>0]，[h（x）]在[1，+∞]上是增函數，[h（x）>e-2>0]，∴[g（em）=em-2m>0]，即[m]的取值范圍為[1，+∞]，

設[x1<x2]，則[0<x1<1<x2]，[0<1x2<1]，

∴[x1x2<1] ? [x1<1x2] ? [g（x1）<g1x2]，

∵[g（x1）=g（x2）=0]，∴[g（x1）-g1x2=g（x2）-g1x2=x2-1x2-2lnx2]，

令[φ（x）=x-1x-2lnx（x>1）]，則[φ'（x）=1x-12>0]，[φ（x）]在[1，+∞]上是增函數，

∴當[x>1]時，[φ（x）>0]，即[x2-1x2-2lnx2>0]，[g（x1）<g1x2]成立，

∴[x1x2<1]成立。

三、比值換元

運用比值換元法解決極值點偏移證明問題，關鍵在于用兩極值點之比替換問題中的變量[x1]，[x2]。解題時通常把極值點之比看作新變量[t]，把問題轉化成關于[t]的函數問題，進而對有關[t]的函數進行分析，解決問題。具體解題步驟如例3所示。

[例3]已知函數[f（x）=ex-ax]有兩個零點分別為[x1]，[x2]，若[a∈e，+∞]，求證：[x1+x2>2]。

分析：首先作差把函數[f（x）=ex-ax]兩個零點對應等式中的參數消去，可得[ex1=ax1]、[ex2=ax2];其次根據得到的式子找到[x1]與[x2]之間的聯系，不難得到[x2-x1=lnx2-lnx1];最后引入新變量[t=x2x1]，把證明[x1+x2>2]轉化為關于[t]的函數問題，對函數[h（t）=lnt-2（t-1）t+1]進行探究。

證明：由[f（x）=ex-ax]，得[f '（x）=ex-a]，

∵[a∈e，+∞]，∴[f（x）]在[（0， 1）]和[（1，3a）]上各有一個零點，

設[0<x1<x2]，

由[ex1=ax1]，[ex2=ax2]可得[x1=lna+lnx1]，[x2=lna+lnx2]，

∴[x2-x1=lnx2-lnx1=lnx2x1]，

設[t=x2x1（t>1）]，則[x2=tx1，x2-x1=lnt，]

解得[x1=lntt-1]，[x2=tlntt-1]，[x1+x2=（t+1）lntt-1]，

∴當[t>1]時，[x1+x2>2]等價于[（t+1）lntt-1>2]，即[lnt-2（t-1）t+1>0]，

設[h（t）=lnt-2（t-1）t+1（t>1）]，

則[h'（t）=（t-1）2t（t+1）2>0]，[h（t）]在[（1，+∞）]上單調遞增，

∴[h（t）>h（1）=0]，即[lnt-2（t-1）t+1>0]，

∴[x1+x2>2]。

評析：通過上述問題及解題過程，不難發現通過[x2-x1=lnx2-lnx1]引入變量[t=x2x1]是解題的關鍵，也是解題的難點所在。運用比值換元法解題，最終也是消去參數，減少變量個數，與其他方法殊途同歸，都使問題更加直觀簡潔。

四、利用單調性

利用單調性解決極值點偏移證明問題，著重于用“當導函數[f'（x）>0]時函數[f（x）]單調遞增”和“當[f'（x）<0]時函數[f（x）]單調遞減”來將自變量的大小關系轉變為函數的大小關系。解題時通常利用上述轉化而來的函數大小關系構造新的函數，進而求解新函數的導數，確定新函數的單調性及其在取值范圍內的最大值或最小值。具體解題步驟如例4所示。

[例4]已知函數[f（x）=xe-x]（[x∈R]），如果[x1≠x2]，且有[f（x1）=f（x2）]，證明：[x1+x2>2]。

分析：因為[f'（x）=1-xex]，所以當[x<1]時有[f'（x）>0]，函數[f（x）=xe-x]單調遞增;當[x>1]時有[f'（x）<0]，函數[f（x）=xe-x]單調遞減。要證明[x1+x2>2]，即證明[x2<2-x1]，直接令[x1<1<x2]，得到[2-x1>1]，此時[x2]和[2-x1]都在函數[f（x）]的單調遞減區間中，因此只需要證明[f（x2）<f（2-x1）]即可。根據已知條件[f（x1）=f（x2）]可知，只需要證明[f（x1）<] [f（2-x1）]，通過構造函數[F（x）=f（x）-f（2-x）（x<1）]，[F'（x）=f'（x）-f'（2-x）=1-xex1-e2x-2]，再分析當[x<1]時對應的[F（x）]的導函數[F'（x）]的情況，即可得到[f（x1）<] [f（2-x1）]，由此證明[x1+x2>2]。

證明：已知函數[f（x）=xe-x]，則其導函數為[f'（x）=1-xex]，當[x<1]時有[f'（x）>0]，函數[f（x）]單調遞增;當[x>1]時有[f'（x）<0]，函數[f（x）]單調遞減。要想證明[x1+x2>2]，即證明[x2<2-x1]，所以直接假設[x1<1<x2]，即[2-x1>1]，此時[x2]和[2-x1]都在函數[f（x）]的單調遞減區間中，所以只需要證明[f（x2）<f（2-x1）]。

∵[f（x1）=f（x2）]，

∴只需證明[f（x1）<f（2-x1）]即可，

令[F（x）=f（x）-f（2-x）（x<1）]，

則[F'（x）=f'（x）-f'（2-x）=1-xex1-e2x-2]，

∵[x<1]，

∴[2x-2<0]，等價于[e2x-2<1]，

∴[F'（x）>0]，

因此，當[x<1]時，函數[F（x）]單調遞增，

又∵[F（1）=0]，

∴[f（x）<f（2-x）（x<1）]，即[f（x1）<f（2-x1）]，

即證[x1+x2>2]成立。

評析：求解這類問題，首先分析原函數的單調性，然后進行合理分析并反推，將自變量的大小關系用函數的大小關系表示出來，再根據得到的函數大小關系構造新的函數，最后對新函數進行求導，利用新函數的單調性及其在取值范圍內的最大值或最小值求證即可。

綜上可知，對稱變換、消參減元、比值換元以及利用單調性等方法都能夠有效解決極值點偏移證明問題。在教學中，教學應善于引導學生發現試題的命題規律，熟悉并掌握解答問題的方法，從而提升學生的解題效率和解題能力，培養學生的數學學科核心素養。

（責任編輯 黃春香）