新課程背景下高中數(shù)學中常見的數(shù)學思想方法

　　高中數(shù)學既是中小學數(shù)學的牢固銜接和繼續(xù)發(fā)展，又是整個數(shù)學學科中的基石.因此，為了更好地學習和掌握這門學科，我們有必要認真地研究一下該學科中所包含的各種常見的思想方法，只有當我們領會了這些思想方法的精髓后，我才能做到游刃有余地處理各種各樣的數(shù)學問題.下文就是關于這些常見的數(shù)學思想方法的詳細概述.
　　一、導數(shù)思想
　　該思想是一個近些年來備受青睞的思想，主要適用于以下幾個方面的問題：1.切線的斜率；2.函數(shù)的單調性；3.函數(shù)的極值和最大、最小值.具體是用導數(shù)的方法.
　　例：已知m、n是正整數(shù)，且1＜m＜n，證明：（1+m）＞（1+n）.
　　證明：∵1＜m＜n，不等式兩邊取自然對數(shù)后，原問題等價于證明不等式：
　　＞.
　　于是，構造函數(shù)f（x）=（x≥2），可求得
　　f′（x）=.
　　由x≥2，知ln（1+x）＞1，
　　∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，即f′（x）＜0.
　　∴f（x）在［2，+∞）上是減函數(shù).
　　∵1＜m＜n，且m、n是正整數(shù).
　　∴f（m）＞f（n），即＞，從而有（1+m）＞（1+n）.
　　二、數(shù)形結合思想
　　數(shù)形結合思想就是把問題的數(shù)量關系和空間形式結合起來考查的思想.該思想主要在三角函數(shù)和解析幾何這兩部分體現(xiàn)出來.根據(jù)解決問題的需要，可以把數(shù)量關系的問題轉化為圖形的性質問題去討論，或把圖形的性質問題轉化為數(shù)量關系的問題來研究.
　　例：若方程=x+m無解，則實數(shù)m的取值范圍?搖?搖.
　　解：令y=，化為x+y=1，y=x+m.
　　則問題轉化為直線與圓的交點問題，從而易求得m＞或m＜-1.
　　三、函數(shù)與方程的思想
　　函數(shù)與方程都是中學數(shù)學中最為重要的內(nèi)容，也是在處理一類數(shù)學問題時經(jīng)常要用到的思想方法.
　　例：已知一個等比數(shù)列{a}中，a+a=10，a+a=，求其第4項及前5項的和.
　　解：設公比為q，由已知條件得a+aq=10aq+aq=
　　即a（1+q）=10 ①aq（1+q）=②
　　由①式比②式得q=，從而得q=.
　　將q=代入①式得a=8，所以a=aq=8×（）=1，
　　S==.
　　四、分類討論思想
　　分類討論思想也叫邏輯劃分思想，是數(shù)學中最常用的一種思想方法.
　　注:分類討論是高考考查的一個重要思想方法，訓練學生自然進入討論思維過程，不要人為神秘化.
　　例：關于實數(shù)x的不等式|x-|≤與x-3（a+1）x+2（3a+1）≤0的解集分別是A、B.求使A?哿B的x的取值范圍.
　　解：∵A=［2a，a+1］，
　　∴①當3a+1＞2時，即a＞時，B=［a，3a+1］，由A?哿B可得：2a≥2a+1≤3a+1，解得1≤a≤3；
　　②當3a+1=2時，即a=時，B={2}，A={x|＜x＜}，這與A?哿B矛盾，故a≠；
　　③當3a+1＜2時，即a＜時，B=［3a+1，2］，由A?哿B可得：3a+1≤2aa+1≤2，解得a=-1.
　　∴綜上所述，a=-1或a∈［1，3］.
　　五、反證法思想
　　反證法思想的特征是通過導出矛盾，歸結為謬誤，而使命題得證，因此反證法也叫歸謬法.
　　例：若x、y∈{正實數(shù)}，且x+y＞2，求證：＜2或＜2中至少有一個成立.
　　證明：假設≥2，≥2成立.
　　∵x、y∈R，∴1+x+1+y≥2（x+y）.
　　即2+（x+y）≥2（x+y），x+y≤2.
　　則與題中的x+y＞2矛盾，故假設錯誤，原命題得證.
　　六、數(shù)學歸納法思想
　　數(shù)學歸納思想是一種常見的數(shù)學思想，在初等數(shù)學和高等數(shù)學中都有著廣泛的應用，與其他數(shù)學思想相比較，數(shù)學歸納思想的風格獨特，它有著固定的應用程式，其核心是必不可少的兩個基本步驟，而其它數(shù)學方法常屬思想方法，并無書寫程式上的要求.
　　例：設a＞0，b＞0，n為自然數(shù)，證明（a+b）≥（）.
　　分析：當n=1時，命題顯然成立；
　　假設當n=k時命題成立，即有（a+b）≥（），于是
　　（）=（）?（）≤（a+b）（a+b）
　　=（a+ab+ab+b）①
　　在上述證明中，我們已經(jīng)利用了歸納假設（a+b）≥（），但是仍未得到所要證明的結果（）≤（a+b），觀察后發(fā)現(xiàn)，如果我們能夠再證明一個輔助不等式：
　　ab+ab≤a+b②
　　然后綜合①②，就可以得到所希望的結論了.
　　②式是不難證明的，因為若a≥b，則a≥b，
　　故a+b-（ab+ab）=（a-b）（a-b）≥0，因此不等式成立.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”