二級直線型倒立擺系統的LQR控制探析

王春平

（杭州佐帕斯工業有限公司，浙江 杭州310018）

0 引言

倒立擺系統是一種多變量、強耦合、嚴重非線性、自然不穩定的系統，其模型簡單但能充分反映很多機械與控制過程中的常見問題，譬如軍工航天領域火箭發射的垂直度控制、機器人研究中機器人的行走平衡控制、通信衛星在其預定軌道上的姿態控制等。因而倒立擺理想模型可以驗證各種控制理論的有效性，深受廣大科技人員的青睞。根據倒立擺的擺動桿個數多少可分為一級、二級等，目前最好的控制是針對四級倒立擺。北京師范大學模糊系統與模糊信息研究中心李洪興教授提出了“變論域自適應模糊控制”理論，在世界范圍內首次成功地實現了四級倒立擺控制仿真實驗。線性二次型調節器（LQR）的最優控制［13］是基于現代控制理論發展起來的，通過對倒立擺系統的分析建立其動力學模型，應用狀態反饋控制器使得目標函數取得最小值。這種方法具有很好的控制效果，本文即采用此方法針對二級倒立擺進行建模和控制器設計。

1 二級直線型倒立擺的數學建模

二級直線型倒立擺系統的機械部分主要由小車、擺桿1、擺桿2、皮帶輪、導軌、傳動皮帶等組成，電氣部分由電機、PWM、功率放大器、傳感器、驅動電路以及保護電路組成［4］，其簡易結構如圖1所示。

圖1 二級直線型倒立擺系統結構示意圖

為了方便模型建立，需作如下假設：（1）擺桿1和擺桿2以及小車都是剛體。（2）傳動皮帶無伸長滑動現象。（3）忽略電極電樞繞組中的電感。（4）忽略實驗中的庫倫摩擦、動摩擦等。二級直線型倒立擺結構參數如表1所示。

表1 二級直線型倒立擺系統的結構參數

式中，03×1為三行一列且元素均為0的矩陣；01×3為一行三列且元素均為0的矩陣；I3×3為三行三列的單位矩陣。

將系統參數代入式（1）便可得到 K12＝77．064 2，K13＝－21．192 7，K22＝－38．532 1，K23＝37．818 6，K17＝5．701 2，K27＝－0．072 8。

2 二級倒立擺LQR控制與仿真

LQR是應用線性二次型最優控制原理設計的控制器。其任務是當系統狀態由于外界干擾偏離了平衡狀態時，可以在不消耗過多能量的情況下，快速保持系統狀態各分量恢復到平衡狀態，且系統是線性的或可線性化的。針對本文研究的二級倒立擺系統的狀態方程＝Ax＋Bu，通過確定最佳反饋控制器u（t）＝－Kx（t）中的增益矩陣K，使得性能指標J＝達到極小。這里的矩陣Q和R是加權矩陣，反映了設計者對狀態x和控制u中各分量重要性的關注程度，最終使系統在控制過程中動態誤差與能量消耗以及系統穩態誤差綜合最優。

基于LQR理論設計控制器時，最關鍵的一個問題即二次型性能指標的選取。矩陣Q和矩陣R是用來平衡輸入量與狀態量權重的，對閉環系統的動態性能影響很大。在本文處理對象為二級倒立擺的系統中，Q、R是分別用來對應狀態向量x、控制向量u引起的性能度量相對重要性加權矩陣，且Q、R參數以及跟隨速度、角速度大小的關系是相互耦合的。本文采用試湊法通過大量的實驗與仿真比較來確定Q和R的值，基于MATLAB的強大計算功能及仿真能力，不斷調整參數得到設計結果，并繪制出系統的輸出響應曲線，控制量加權矩陣分別取如下2組數據時，輸出響應曲線如圖2所示：（1）R＝［1］，Q＝［100 0 0 0 0 0；0 100 0 0 0 0；0 0 100 0 0 0；03×6］；（2）R＝［100］，Q＝［100 0 0 0 0 0；0 100 0 0 0 0；0 0 100 0 0 0；03×6］。

圖2 LQR控制二級倒立擺系統時的輸出響應曲線

3 結語

本文圍繞二級直線型倒立擺系統，基于現代控制理論中的LQR理論，設計了狀態反饋控制器，通過大量的實驗仿真獲得了該倒立擺系統性能改善較為理想的輸出曲線。

［1］胡陽，王吉芳．二級倒立擺系統實時穩定控制實驗研究［J］．計算機仿真，2009，26（9）

［2］張立迎．直線二級倒立擺穩定控制研究［D］．濟南：山東大學，2009

［3］萬力，李湘敏．二級倒立擺系統模型建立與LQR控制仿真［J］．湖南理工學院學報，2010，23（3）

［4］固高科技有限公司．固高倒立擺系統與實驗指導書［Z］，2004

［5］王海英，袁麗英，吳勃．控制系統的 MATLAB仿真與設計［M］．北京：高等教育出版社，2009