半球之間的引力

邱為鋼

(湖州師范學院理學院, 浙江 湖州　313000)

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半球之間的引力

邱為鋼

(湖州師范學院理學院, 浙江 湖州313000)

摘要兩個不同半球沿對稱軸方向(第1種情形)或者接觸面分開(第2種情形)，球心間的距離是h.在情形1中，計算得到了展開到h一次項的引力勢能表達式.由這個引力勢能的解析表達式，得到了兩個半球間的引力表達式.在情形2中，計算得到了展開到h二次項的引力勢能表達式.當大的半球固定時，小的半球作簡諧振動，并給出了周期公式.以上的解析式得到了數值計算值的驗證.

關鍵詞萬有引力；半球；周期

基金資助: 國家自然科學基金(11275067，11475062).

第一顆原子彈的研發過程中, 有這樣一個故事: 某次試驗, 不小心兩個鈾半球合在一起, 馬上就要重合超過臨界質量,將發生核反應.有位物理學家眼捷手快, 把兩個半球分開,阻止了一次嚴重事故. 撇開故事，現在只考慮半球之間的引力(平方反比關系), 掰開兩個半球的力量有多大? 這就是本文主要討論的問題.

設兩個半球的半徑分別為R1,R2，不失一般性，設R1>R2.起始時球心重合，重合面為x-y平面.設大球固定，小球拉開.為計算方便，只考慮兩種情況，一是沿z軸方向拉開一段距離；二是沿著重合面(假設接觸面完全光滑)拉開一段距離.第二種情況下，如果拉開距離是小量的話，小球就在平衡位置作小幅度的簡諧振動.那么，這個振動周期是多少？為便于計算，假設球心距離h遠小于兩球的半徑，計算過程中只展開到h的一階或兩階小量.

圖1　半球坐標示意圖

設大球在下面，其中一點的球坐標是(r1,θ1,φ1)，參數滿足π/2<θ1<π；小球在上面，其中一點的球坐標是(r2,θ2,φ2)，參數滿足0<θ2<π/2.設兩個球的質量密度分別是ρ1,ρ2，由萬有引力勢能公式, 兩球之間的引力勢能是

(1)

式(1)中的積分因子有積分變換式

(2)

其中，波矢量k的球坐標是(k,θ3,φ3).式(2)中積分因子的分子有以下展開式[1,2]

(3)

(4)

只考慮到h的一階，那么有

(5)

把式(3)～式(5)代入式(2)， 計算得到(具體計算過程請參閱文獻[3])引力勢能中包含h一次方項為

(6)

由積分公式[1,2]

(7)

計算得到

(8)

由此得到沿對稱軸方向掰開兩個半球的力是

(9)

下面討論沿接觸面的滑動，設沿x軸方向移動h距離，考慮到h的一階和二階:

(10)

把式(3)，式(4)和式(10)代入式(2), 由對稱性，平移距離h一次方貢獻為零，即沿切合面方向掰開半球所需力為零.引力勢能中包含h二次方項分為V2,0和V2,2(具體計算過程請參閱文獻[3])，其中V2,0的表達式是

(11)

其中，

(12)

V2,2的表達式是

(13)

其中，

(14)

(15)

(16)

實際計算中，只取前4項求和，即l=0,1,2,3這4項, 這時兩半球引力勢能的二次項是

(17)

式(17)表明小的半球所感受到的引力勢能是二次項勢能，也意味著小球沿切面作簡諧運動.由二次方勢能中簡諧運動的周期公式，計算得到

(18)

表1　兩球引力勢能的二次項比例系數

綜合利用數學物理的積分求和和特殊函數公式，給出了兩個半球垂直拉開和平行拉開時引力勢能的近似解析表達式，結果與數值求值一致.也給出了小球沿切面作簡諧運動周期的表達式.

參考文獻

[1]王竹溪，郭敦仁.特殊函數概論[M].北京: 北京大學出版社，2000.

[2]Gradshteyn I S， Ryzhik I M. Table of integrals, series, and products[M].7版. 北京: 世界圖書出版公司，2008.

[3]邱為鋼.數學物理專題選講[Z]. 湖州： 湖州師范學院，2014.

審稿意見摘錄：

文中的兩個例子，吸引力和簡諧頻率可以有解析解，對于多數大學物理的學生和教師來說，是一件新鮮事.可以作為復雜的習題、大作業之類.文中討論的內容，不是當下教學的急所，但可以拓寬大學物理師生的視野，本身也有點新意.

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GRAVITATION BETWEEN TWO HEMISPHERES

Qiu Weigang

(School of Science, Huzhou Teachers College, Huzhou, Zhejiang 313000)

AbstractTwo different hemispheres are separated from each other along symmetric axis (case one) or a contact plane (case two). The distance between their centers is denoted as h. In the case one, the gravitational potential energy containing first order of h is derived. The attraction force between two hemispheres is obtained from the analytical expression of the gravitational potential energy. In the case two, the gravitational potential energy containing second order of h is derived. When the bigger hemisphere is fixed, the smaller one’s motion is a simple harmonic vibration. The period time is given. All of those analytical expressions are confirmed by numerical calculation results.

Key wordsgravitation; hemisphere; period

作者簡介:2014-12-23 邱為鋼, 男,副教授，主要從事數學物理的教學和研究.wgqiu@hutc.zj.cn